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这两天美国首都发生了大规模的聚会游行，要为川普总统讨回公道，示威者指控本次大选有大规模舞弊，把本属于他的胜利给偷走了，所以这个游行的主题就叫“制止偷窃”（Stop the Steal）！
而且这两天的网络空间中，统计学和数据分析也突然火了起来，一个本来没有什么人听说过的本福特定律 （Benford’s law）仿佛忽然成为显学，据说有人用这个定律发现了拜登和民主党团队大规模作弊的证据。
我对于自己不懂的东西一般不说话，如果非要说个一句半句的话，那要先看文献 。十年前专业的政治学期刊发了一篇这个主题的文章《本福特定律和选举舞弊之揭露》（那个年代还没有川普总统和对大选的普遍怀疑）。这篇文章的摘要里的最后一句话是这么说的：
（本福特定律在检测选举舞弊）上的成功率，大概齐和掷硬币猜正反差不多，所以在检测舞弊上，往好了说是有问题，往坏了讲就是完全的误导。
Its “success rate” either way is essentially equivalent to a toss of a coin, thereby rendering it problematic at best as a forensic tool and wholly misleading at worst.
话虽如此，这并不代表统计学和数据分析在鸟瞰选民意愿的大趋势上，就真的无事可做了。
我现在展示的这个简单分析，特意另辟蹊径，避开已经被专业或二把刀数据师傅炒作滥了的几个摇摆州的数据，比如宾州，密歇根，威斯康星，亚利桑那，内华达和乔治亚，而是深耕于十几个根本上不了新闻的，被人遗忘了的州，他们是：怀俄明，西佛吉尼亚，北达科他，俄克拉荷马，艾达华，阿肯色，南达科他，肯塔基，阿拉巴马，田纳西，犹他，密西西比，内布拉斯加，路易斯安娜，蒙大拿，堪萨斯，南卡莱罗纳，阿拉斯加，这18个州。如果是对美国政治地理不熟悉的读者，可能对其中的大部分名字未必熟悉，这是正常的，它们大都是位于美国内陆中西部的一些较不发达的地区，肯定不如纽约，加州，德州，佛罗里达这样的地方有名，它们在近来半个世纪的历史上都是共和党的坚实票仓，大概在开票的半个小时内就把自己的选举人票贡献给了川普总统。选这几个州，有这么几个考虑，第一，它们都是无可争议的红州，如果真的有大规模恶意选举舞弊的话，大概不会在这几个州发生，因为无论怎么折腾都翻不了盘，风险和收益绝对不成比例；第二，现在所有的质疑都是共和党人砸向民主党的，那么在这些共和党绝对掌握天下的地方，他们大概不会听任所谓的民主党“大规模舞弊”肆意发生在眼皮子底下吧。从生物制药的角度来做一个比喻，我们可以用这些深红州的数据作为“阳性对照”，来推测摇摆州这些在放大镜下被反复检验的地方可能发生了什么。下面这个图列出了民主党和共和党候选人这18个深红州中，分别在2016和2020获得了多少支持。除了川普在这两次选举中都大胜之外这样的明显事实外，有心人还能看出一个细微而重大的趋势，那就是：在这18个州中，川普2020只在三个州里（阿肯色，犹他和密西西比）扩大了2016的取胜优势（右边红色），而在其他十五个州的胜利都缩水了（蓝色）。也许有人看到这些差异都比较小，比如川普2020在阿肯色取胜28点，2016年时27点胜出，会质疑这样的数字是否为统计学噪音。其实，单看一个百分点的差异也许意义不大，但是这样的差异如果为随机产生，那么我们应该能看到川普在大约半数的州里扩大了优势，而在剩下一半缩小。而实际情况并非如此。统计学中有一个检测叫McNemar Test（卡方检测的一种），专门用来检测同一个体“集体变脸”趋势的显著性，川普胜利缩水VS扩大的这个15：3 ， McNemar检测 P值为0.0047，也就是说，如果红蓝选民在2016和2020对川普的好恶选择大体不变，那么我们看到这个15：3的大幅度分野的概率，在100次里也不到一次。换句话说，川普2020，即使是在红州，他挣来的新支持者也被拉来的仇恨给抵消和反超了，这是一个全国普遍现象。当然，这样此消彼长，在红州里不能改变大局，比如在怀俄明州，也是美国人口最少的州，才80万人口，川普2020胜出了43个点，而他2016则胜出46点，缩水了3点，so what？改变不了该州红彤彤的保守色彩。但是，怀俄明有共和党人，民主党人和中立者，摇摆州也有这样的选民组成。怀俄明的3个百分点的出入，如果放在摇摆州诸如威斯康星，那就是改变天平走向的砝码。希拉里2016在威斯康星输掉了0.7%, 而拜登2020则赢了0.6%。也就是说，拜登在几个摇摆州的险胜，基本符合全国选民意愿的大致流动方向，并非是什么惊天动地的数据“分布异常”。当然，不管是本福特定律还是McNemar检测，都不能作为大选有无舞弊的实锤。但是，政治观察家还真有粗判选举是否公正合法的工具，其中一个就是出口民调（ Exit Poll）。在选民投完票后，在门口拦住人家询问他投了谁，然后把出口民调的结果和最终的结果对比，不应该出现太大的出入。迄今为止，我们也没有看到任何出口民调和大选结果严重有出入的报道。同时，出口民调也能揭示国家重要群体政治意向的分布。比如，和4年前比起来，以下是拜登支持率强劲增长的群体：
这大概是拜登在几大摇摆州里的胜利，以及在红州中缩小了差距的根本原因。本文只是提供一个视角，绝对不是为了说服什么人。因为现在是一个信者恒信，不信者恒不信的政治空气。我摆出数据证明：没有舞弊拜登也能拿到这样的成绩，但是肯定有人会说选票机器有问题，在红州也会有作弊的可能；我说拜托，美国的选举是地方事务，投票设备的采购测试都是当地的选举官员拍板，都是党性非常强的人士，他们为什么要选购对自己不利的有问题的器材，更何况机器和软件都要经过测试和QC；然后有人会说是全国系统性的软件被作假篡改，我说拜托，目前民主党中除了拜登胜出外，在参院的选举中大败，在众院小败，在地方立法机构也败，如果有如此神奇的作弊软件助力的话，怎么不帮一把这些失掉了工作的本党议员呢？特别是，参院共和党领袖，肯塔基的参议员Mitch Mcconnel， 以及南卡莱罗纳的参议员Linsey Graham， 这两位都堪称是民主党的眼中钉肉中刺，欲拔之而后快的，却都以两位数的优势连任了，难道作弊软件偏偏对他俩网开一面？然后恒不信者会说，那肯定是又什么其他的作弊招数啦.......我曾写过一篇文章讨论奥卡姆剃刀，说的是事情的真相往往是直白的，而很多引人入胜的阴谋论，则是背负了很多“大胆假设”的框架，负重不堪，漏洞百出。比如4年前被渲染的“加州的几百万非法移民投票”；今年的邮寄投票中成千上万的“死人投票”；大量选票被“丢弃”，某党印刷伪造大量选票；软件的系统性造假，几万某个候选人的选票一过电脑就变成另一党的了.....或者，我们可以用奥卡姆剃刀原则把这些噪音削了剃了：大选是这么个结果，也许就是因为川普总统这四年手法太极端了，抗疫太失败了，所以引发了温和选民的造反，就这么简单而已。做不好就下台，不服就4年后卷土重来，美国200多年的政党轮换史，正是这样的，任你是什么样的统计定律也否认不了。参考资料：
https://www.cambridge.org/core/journals/political-analysis/article/benfords-law-and-the-detection-of-election-fraud/3B1D64E822371C461AF3C61CE91AAF6D
https://www.nytimes.com/interactive/2020/11/03/us/elections/results-president.html
https://www.washingtonpost.com/graphics/2020/elections/exit-polls-changes-2016-2020/
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